【怎么求求根公式】在数学中，“求根公式”通常指的是求解一元二次方程的公式，即“求根公式”也称为“求根定理”。它是解决形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程的一种通用方法。掌握这一公式对于学习代数、函数和方程等内容非常重要。
一、求根公式的定义
求根公式是用于求解一元二次方程的数学公式，其形式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数（$ a \neq 0 $）
- $ b $ 是一次项系数
- $ c $ 是常数项
这个公式能够直接给出方程的两个解，分别对应加号和减号的情况。
二、求根公式的推导过程（简要）
1. 从标准形式出发：
$ ax^2 + bx + c = 0 $
2. 移项：
$ ax^2 + bx = -c $
3. 两边除以 $ a $：
$ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} $
4. 配方：
在等式两边加上 $ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 $，使左边成为完全平方：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2
$$
5. 化简：
左边变为 $ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 $，右边化简为 $ \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} $
6. 开平方并整理：
$$
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
7. 最终得到求根公式：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
三、判别式的作用
在求根公式中，$ \Delta = b^2 - 4ac $ 被称为判别式，它决定了方程的根的性质：
| 判别式 $ \Delta $ | 根的性质 |
| $ \Delta > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ \Delta = 0 $ | 有一个实数根（重根） |
| $ \Delta < 0 $ | 无实数根，有两个共轭复数根 |
四、使用求根公式的步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确认方程是否为一元二次方程，即形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $，且 $ a \neq 0 $ |
| 2 | 找出 $ a, b, c $ 的值 |
| 3 | 计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ |
| 4 | 根据判别式的值判断根的类型 |
| 5 | 代入求根公式计算 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ |
五、举例说明
例题：解方程 $ 2x^2 + 5x - 3 = 0 $
- $ a = 2 $，$ b = 5 $，$ c = -3 $
- 判别式 $ \Delta = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 $
- 根为：
$$
x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}
$$
- 解得：$ x_1 = \frac{2}{4} = 0.5 $，$ x_2 = \frac{-12}{4} = -3 $
六、总结
求根公式是解决一元二次方程的重要工具，通过公式可以直接得到方程的两个解。理解其推导过程有助于加深对代数知识的理解。同时，判别式的应用可以帮助我们判断根的性质，从而更全面地分析问题。
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ \Delta = b^2 - 4ac $ |
| 根的类型 | 实数根或复数根 |
| 使用步骤 | 确认方程、找出系数、计算判别式、代入公式 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解如何求解一元二次方程的根，并灵活运用求根公式解决实际问题。