问点到平面的距离公式

【点到平面的距离公式】在三维几何中，点到平面的距离是一个重要的概念，广泛应用于工程、物理和计算机图形学等领域。该距离的计算方法可以通过解析几何中的公式来实现。以下是对“点到平面的距离公式”的总结，并通过表格形式展示关键信息。

一、点到平面的距离公式概述

设有一个平面π，其方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量的分量，$ D $ 是常数项。

给定一个点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，则该点到平面π的距离 $ d $ 可以用如下公式计算：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

这个公式的核心思想是：利用点与平面之间的垂直距离，通过向量投影的方法进行计算。

二、关键参数说明

三、使用步骤总结

1. 确定平面方程：将已知平面表示为标准形式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $。

2. 获取点的坐标：明确点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 的坐标。

3. 代入公式计算：将参数代入公式 $ d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $。

4. 验证结果合理性：确保结果为非负值，单位一致。

四、注意事项

- 公式中的绝对值符号确保了距离为正值。

- 若法向量的模长为1（即单位法向量），则公式可以简化为 $ d = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D $。

- 当点位于平面上时，距离为0。

五、实际应用举例

假设平面方程为 $ 2x - 3y + 6z - 5 = 0 $，点 $ P(1, 2, 3) $，则：

$$

d = \frac{2(1) - 3(2) + 6(3) - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{2 - 6 + 18 - 5}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9}{\sqrt{49}} = \frac{9}{7}

$$

因此，点 $ P $ 到该平面的距离为 $ \frac{9}{7} $。

通过以上内容可以看出，点到平面的距离公式不仅简洁实用，而且具有广泛的适用性。掌握这一公式有助于解决许多实际问题。