【商的导数公式是什么】在微积分中，求函数的导数是研究函数变化率的重要工具。当涉及到两个函数相除的情况时，就需要用到“商的导数公式”。该公式用于计算两个可导函数相除后的导数，是微分学中的基本内容之一。
一、商的导数公式总结
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式也被称为商法则（Quotient Rule），是求导过程中常用的规则之一。
二、商的导数公式表格总结
| 名称 | 公式表达式 |
| 商的导数公式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 说明 | 适用于两个可导函数相除的情况，要求分母不为零 |
| 使用场景 | 在求解复杂函数导数时，尤其是涉及分数形式的函数 |
| 注意事项 | 分母 $ v(x) $ 必须非零，否则公式不成立；需先求分子和分母的导数再代入 |
三、举例说明
例如，设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，则：
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $，$ v'(x) = 1 $
代入商的导数公式得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2}
$$
进一步化简后可得到最终结果。
四、总结
商的导数公式是微积分中非常实用的工具，尤其在处理分数形式的函数时。掌握这一公式有助于更高效地解决实际问题，如物理中的速度、加速度计算，以及经济学中的边际分析等。
通过理解并熟练运用商法则，可以大大提升对函数导数的掌握能力。