【等比数列求和通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题具有重要意义。
一、等比数列的基本概念
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项都是前一项乘以一个固定常数（称为公比）所形成的数列。
例如：2, 4, 8, 16, 32... 是一个等比数列，其中首项为2，公比为2。
二、等比数列的通项公式
等比数列的第n项可以用以下公式表示：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中：
- $ a_n $ 表示第n项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
三、等比数列的求和公式
等比数列的前n项和（$ S_n $）可以用以下公式计算：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
$$
当公比 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时求和公式变为：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
四、总结对比表
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 计算第n项的值 |
| 前n项和公式（$ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 求前n项的总和 |
| 前n项和公式（$ r = 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 当公比为1时的特殊情况 |
五、应用举例
例题1：
已知等比数列首项为3，公比为2，求第5项和前5项的和。
解：
- 第5项：
$$
a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48
$$
- 前5项和：
$$
S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93
$$
通过以上内容可以看出，等比数列的通项公式和求和公式是解决相关问题的基础工具，掌握它们有助于提高数学分析能力，并在实际问题中灵活运用。