幂级数收敛半径内绝对收敛（幂级数收敛半径）

大家好，我是小新，我来为大家解答以上问题。幂级数收敛半径内绝对收敛，幂级数收敛半径很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、ls回答的很好，以下也是来自ls,在他主页上，没有粘贴过来

2、：

3、假设幂级数 ∑AnX^n 的收敛半径为 R ，我们将该幂级数中的某些项摘出来组成新的级数 ∑AniX^ni 则必然有 ∑AniX^ni 的收敛半径 R’>=R （该结论是显然的，故在此不予详细证明）。现在，假设有两个幂级数 ∑AnX^n 和 ∑BnX^n 的收敛半径分别为 Ra和Rb ，则级数An的子级数 An’的收敛半径 Ra’>=Ra ,级数Bn的子级数 Bn’的收敛半径 Rb’>=Rb 。我们分别从级数 An 和 Bn 中适当选取某些项并以这些项组成新的幂级数 ∑CnX^n ，则 Cn的收敛半径 Rc=min{Ra’，Rb’} 。现在证明对于幂级数 ∑CnX^n 极限 lim n→+∞|Cn+1/Cn|不一定存在，为此我们可以选择幂级数 An 的奇数项和 Bn 的偶数项组成幂级数 Cn ，那么我们有|Cn+1/Cn|= |An+1/Bn| （n为偶数）或 |Cn+1/Cn|= |Bn+1/An| （n为奇数），显然极限 lim n→+∞|Cn+1/Cn| 一般是不存在的，同理极限 lim n→+∞|Cn|^(1/n) 一般也是不存在的，但幂级数 ∑CnX^n 的确是存在收敛半径Rc的。实际上对于由有限个收敛幂级数的子系列共同组成的幂级数仍然是收敛的，且存在收半径R，但是极限 lim n→+∞|An+1/An|（或lim n→+∞|An|^(1/n)）一般情况下并不存在。

4、 由上面的讨论可以知道对于幂级数 ∑AnX^n 而言，极限 lim n→+∞|An+1/An|（或lim n→+∞|An|^(1/n)） 存在，则幂级数收敛必然收敛，且存在收敛半径R，假若极限 lim n→+∞|An+1/An|（或lim n→+∞|An|^(1/n)） 不存在，幂级数仍然可以是收敛的，且存在收敛半径R 。换言之，幂级数 ∑AnX^n 收敛，且存在收敛半径 R 是极限 lim n→+∞|An+1/An|（或lim n→+∞|An|^(1/n)）存在的必要不充分条件，极限 lim n→+∞|An+1/An|（或lim n→+∞|An|^(1/n)） 存在是幂级数 ∑AnX^n 收敛，且存在收敛半径 R 的充分不必要条件。因此在判断幂级数的收敛以否以及收敛半径的时候应当慎重！

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。